1.什么事FFT?(恼

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2.为什么要用FFT?

• 在计算两个多项式相乘的时候，我们要将两个多项式的项数一一对应相乘。

• 所以计算$f(x)\ast g(x)$ 时，时间复杂度为 $O(n^2)$

• 但是我们可以将函数用另一种表示方法。

• 总所周知，用 $n+1$ 个点可以确定一个 $n$ 次的函数（传送门），所以我们不妨写成（以$f(x)$为例）

  f ( x ) = { ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , . . . , ( x n , f ( x n ) ) } f(x)= \{(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn))\} f(x)={(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn))}

  即用坐标表示一个多项式函数。

• 但有什么用呢？

  假设我们要求$f(x)\ast g(x)$（设 $f(x)，g(x)$ 的次数为 $n$）的结果（自然也是一个多项式，设为 $h(x)$ 罢）

  若我们用坐标来求解，那么

  h ( x ) = { ( x 0 , f ( x 0 ) ∗ g ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ∗ g ( x 1 ) ) , . . . , ( x n , f ( x n ) ∗ g ( x n ) ) } h(x)= \{ (x0,f(x0)*g(x0)),(x1,f(x1)*g(x1)),...,(xn,f(xn)*g(xn))\} h(x)={(x0,f(x0)∗g(x0)),(x1,f(x1)∗g(x1)),...,(xn,f(xn)∗g(xn))}

  事 $O(n)$ 的。

• 但是很可惜，多项式表示变换为坐标的时间复杂度事 $O(n^2)$ 的（恼

  因为你不仅要枚举 $n+1$ 个不同的 $x$ ，还要将每一个 $x$ 带入。

  所以这时候就要用到 $FFT$

3.FFT代码

已经有人讲的很详细了，再详细也没有用了罢（悲

所以不再赘述了，链接直接贴出来（这事会员制博客，作者受到的惩罚是。。。（悲）：

LeeCongWei
【学习笔记】极其美妙的算法——FFT（快速傅里叶变换）

路人黑的纸巾
十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）

lahlah_
浅谈 FFT （终于懂一点了~~）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<complex>
#define co complex<double>
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
int n,m;
long long limt=1;
co a[4000200],b[4000200];
int rev[4000200];
void fft(co *c,int inv)
{
	for(int i=0;i<limt;i++)
	if(i<rev[i]) swap(c[rev[i]],c[i]);
	for(int mid=1;mid<limt;mid<<=1)
	{
		int len=mid*2;
		co w(cos(pi/mid),inv*sin(pi/mid));
		for(int i=0;i<limt;i+=len)
		{
			co omega(1,0);
			for(int j=0;j<mid;j++)
			{
				co p1=c[i+j],p2=omega*c[i+j+mid];
				c[i+j]=p1+p2;
				c[i+j+mid]=p1-p2;
				omega=w*omega;
			}		
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	cin>>a[i];
	for(int i=0;i<=m;i++)
	cin>>b[i];
	while(limt<n+m+1)
	limt*=2;
	for(int i=0;i<limt;i++)
	if(i&1)
	rev[i]=((rev[i>>1]>>1)+limt/2);
	else
	rev[i]=(rev[i>>1]>>1);
	fft(a,1),fft(b,1);
	for(int i=0;i<limt;i++)
	a[i]*=b[i];
	fft(a,-1);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)
	printf("%d ",(int)(a[i].real()/limt+0.5));
}

作者只是个背板子的食雪汉（悲